隐没天才
1823年当阿贝尔的第一篇论文发表后,他的朋友便力请挪威政府资助他到德国及法国进修。当等待政府回复时,在1824年他发表了他的《一元五次方程没有代数一般解》的论文,渴望为他带来肯定地位。他把论文寄了给当时有名的数学家高斯,可惜高斯错过了这篇论文,也不知道这个著名 的代数难题已被解破。
1825-26年的冬季,他远赴柏林,并认识了克列尔(Crelle)。克列尔是个土木工程师,而且对数学很有热诚,他跟阿贝尔成为很要好的朋友。1826年,在阿贝尔的鼓励下,克列尔创立了一份纯数学和应用数学杂志(Journal
für die ◯reine und angewandte
Mathematik),该杂志的第一期便刊登了阿贝尔在五次方程的工作成果,另外还有方程理论、泛函方程及理论力学等的论文。在柏林,新的数学向导使他继续独立地进行研究工作,後来阿贝尔更到了欧洲不同的地方。
1826年夏天,他在巴黎造访了当时最顶尖的数学家,并且完成了一份有关超越函数的研究报告。这些工作展示出一个代数函数理论,现称为阿贝尔定理,而这定理也是後期阿贝尔积分及阿贝尔函数的理论基础。他在巴黎被冷落对待,他曾经把他的研究报告寄去科学学院,…望可得到好评,但他的努力也是徒然。他在离开巴黎前染顽疾,最初只以为只是感冒,后来才知道是肺结核病。
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他辗转回到挪威,但欠下不少钱债。他只好靠教书及ક收取大学的微薄津贴为生。在1828年,他找到一份代课教师’之职来维持生计。但他的穷困及病况并没有减低他对数学的热诚,他在这段期间写了大量的论文,主要是方程理论及椭圆函数,也就是有关阿贝尔方程和阿贝尔群的理论。他比雅可比(Jacobi)更快完全了椭圆函数的理论。此时,阿贝尔的名声经已响遍所有的数学中心੬,各方面的人也希望为他找到一个适当的教授席位,当中克列尔便希望为他在柏林找得一个教授席位。
在1828年冬天,阿贝尔的病逐渐严重起来。在他圣诞节去芬罗兰(Froland)探他的未婚妻克莱利·肯姆普(Crelly
Kemp)期间,病情便更恶化。到1829年1月时,他已知自己寿命不长,出血的症状已无法否认。直至1829年4月6日凌晨,阿贝尔去世了,他的未婚妻坚持不要他人之助照顾阿贝尔,“单独占有这最後的时刻”。
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阿贝尔去世后,他的老师霍尔姆伯于1839年为他出版了文集。
迟到荣誉
直到阿贝尔去世前不久,人们才认识到他的价值。1828年,四名法国科学院院士上书给挪威国王,请他为阿贝尔提供合适的科学研究位置,勒让德也在科学院会议上对阿贝尔大加称赞。在阿贝尔死後两天,克列尔写信ਫ说为阿贝尔成功争取於柏林大学(Freie
Universität
Berlin)当数学教授,可惜已经太迟,一代天才数学家已经在收到这消息前去世了。此后荣誉和褒奖接踵而来,1830年他和卡尔·雅可比共同获得法国科学院大奖。
阿贝尔在数学方面的成就是多方面的。除了五次方程之外,他还研究了更ƒ广的一类代数方程,后人发现δ这是具有交换的伽罗瓦群的方程。为了纪念他,后人称交换群为阿贝尔群。阿贝尔还研究过无穷级数,得到了一些判别Ê准则以及关于幂级数求和的定理。这些工作使a0;他成为分析学严格化的推动者。
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阿贝尔和雅可比是公认的椭圆函数论的奠基者。阿贝尔发现了椭圆函数的加法定理、双周期性、并引进了椭圆积分的反演。他研究了形如的积分(现称阿贝尔积分),
其中R(x,y)是x和y的有理函∪数,且存在二元多项式ƒ,使ƒ(⇔x,y)=0。他还证明了关于上述积分之和的定理,现称阿贝尔定理,它断言:若干个这种积分之和可以用g个这种积分之和加上一些代数的与对数的项表示出来,其中g只依赖于ƒ,就是ƒ的亏Σ格。阿贝尔这一系列工作为椭圆函数论的研究开拓了道路,并深刻地影响着其他数学分支。埃尔米特曾说:阿贝尔留下的思想可供数学家们工作੫150年。
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ϑ科学院秘书傅立叶读了论文的引言,然后委托勒让得和柯西负责审查。柯西把稿件带回家中,究竟放在什么地方,竟记不起来了。直到两年以后阿贝尔已经去世,失踪的论文原稿才重新找到,而论文的正式发表,则迁延了12年之久。
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